Grup adalah salah satu sistem
aljabar yang hanya memiliki satu operasi biner, selanjutnya sistem yang lebih
komplek dinamakan gelanggang. Gelanggang
mempunyai dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian. Syarat-syarat untuk gelanggang berlaku pada
kedua operasi biner tersebut, akan tetapi
syarat untuk perkalian lebih sedikit daripada penjumlahan. Berikut
definisi tentang gelanggang.
Definisi Gelanggang
Misalkan R adalah suatu himpunan
dengan relasi equivalen yang dinotasikan oleh =. Operasi penjumlahan dan perkalian, yang dinotasikan oleh + dan ∙,
masing-masing terdefinisi. Maka, R adalah gelanggang jika memenuhi kondisi-kondisi berikut.
- R tertutup terhadap penjumlahan : x∈R dan y∈R, maka x+y∈R
- Penjumlahan di R assosiatif : x+(y+z)=(x+y)+z untuk semua x, y, z di R.
- R memuat identitas penjumlahan 0: x+0=0+x=x, untuk semua x∈R.
- R memuat balikan penjumlahan: untuk setiap x∈R , terdapat -x∈R, sedemikian sehingga x+(-x)=(-x)+x=0.
- Penjumlahan di R komutatif: x+y=y+x, untuk setiap x,y∈R .
- R tertutup terhadap perkalian: x∈R, dan y∈R, maka x∙y∈R.
- Perkalian di R assosiatif: x ∙(y∙z)=(x∙y)∙z, untuk setiap x, y, z∈R.
- Aturan distributif berlaku di R: x∙(y+z)=x∙y+x∙z dan (x+y)∙z=x∙z+y∙z, untuk setiap x, y, z∈R.
Identitas penjumlahan dari
gelanggang disimbolkan oleh 0, menunjukkan unsur nol di gelanggang. Invers
penjumlahan -a disebut negatif dari a atau balikan dari a. Sedangkan
pengurangan di gelanggang didefinisikan oleh
x-y=x+(-y)
Di dalam aljabar elementer kita
mengikuti aturan bahwa aturan perkalian lebih didahulukan daripada penjumlahan.
Dapat difahami bahwa dalam ekspresi apapun melibatkan perkalian dan
penjumlahan. Perkalian dioperasikan terlebih dahulu. Maka, xy+xz
merepresentasikan (x∙y)+(x∙z), bukan x(y+x)z.
Statemen dari definisi dapat dibuat
lebih pendek ke dalam bentuk yang lebih mudah untuk diingat jika kita
menuliskan kelima syarat pertama sebagai syarat bahwa R adalah suatu grup
komutatif terhadap operasi penjumlahan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar