Contoh Gelanggang

Beberapa contoh sederhana dari gelanggang disediakan oleh sistem bilangan dengan operasi perkalian dan penjumlahan.

1. Himpunan bilangan bulat Z
2. Himpunan bilangan rasional Q
3. Himpunan bilangan real R
4. Himpunan bilangan komplek C

Contoh selanjutnya akan diselidiki bahwa himpunan bilangan bulat genap E adalah suatu suatu gelanggang yang berhubungan dengan operasi perkalian dan penjumlahan pada bilangan bulat Z.  Definisi otomatis berlaku pada E karena semua unsur di E seluruhnya berada pada gelanggang  Z.

• Penjumlahan di E adalah assosiatif
• Penjumlahan di E adalah komutatif
• Perkalian di E adalah assosiatif
• Kedua aturan distributif berlaku di E
• 
  

Syarat-syarat yang tersisa dari definisi dapat diperiksa seagai berikut

• Jika x∈E dan y∈E, maka x=2m dan y=2n, dengan m dan n di Z. Untuk penjumlahan kita dapatkan x+y=2m+2n=2(m+n)∈E. Maka, E tertutup terhadap penjumlahan.
• E memuat identitas penjumlahan, karena 0=2∙0
• Untuk setiap x=2k∈E, balikan penjumlahan dari x terdapat di E, karena -x=2(-k).
• Untuk x,y∈E, di mana x=2m dan y=2n, maka xy=2(2mn)∈E, sehingga E tertutup terhadap perkalian.