Contoh Gelanggang

Beberapa contoh sederhana dari gelanggang disediakan oleh sistem bilangan dengan operasi perkalian dan penjumlahan.

1. Himpunan bilangan bulat Z
2. Himpunan bilangan rasional Q
3. Himpunan bilangan real R
4. Himpunan bilangan komplek C

Contoh selanjutnya akan diselidiki bahwa himpunan bilangan bulat genap E adalah suatu suatu gelanggang yang berhubungan dengan operasi perkalian dan penjumlahan pada bilangan bulat Z.  Definisi otomatis berlaku pada E karena semua unsur di E seluruhnya berada pada gelanggang  Z.

• Penjumlahan di E adalah assosiatif
• Penjumlahan di E adalah komutatif
• Perkalian di E adalah assosiatif
• Kedua aturan distributif berlaku di E
• 
  

Syarat-syarat yang tersisa dari definisi dapat diperiksa seagai berikut

• Jika x∈E dan y∈E, maka x=2m dan y=2n, dengan m dan n di Z. Untuk penjumlahan kita dapatkan x+y=2m+2n=2(m+n)∈E. Maka, E tertutup terhadap penjumlahan.
• E memuat identitas penjumlahan, karena 0=2∙0
• Untuk setiap x=2k∈E, balikan penjumlahan dari x terdapat di E, karena -x=2(-k).
• Untuk x,y∈E, di mana x=2m dan y=2n, maka xy=2(2mn)∈E, sehingga E tertutup terhadap perkalian.

GELANGGANG (RING)

Grup adalah salah satu sistem aljabar yang hanya memiliki satu operasi biner, selanjutnya sistem yang lebih komplek dinamakan gelanggang.  Gelanggang mempunyai dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian.  Syarat-syarat untuk gelanggang berlaku pada kedua operasi biner tersebut, akan tetapi  syarat untuk perkalian lebih sedikit daripada penjumlahan. Berikut definisi tentang gelanggang.

Definisi Gelanggang

Misalkan R adalah suatu himpunan dengan relasi equivalen yang dinotasikan oleh =.  Operasi penjumlahan dan perkalian, yang dinotasikan oleh + dan ∙, masing-masing terdefinisi. Maka, R adalah gelanggang  jika memenuhi kondisi-kondisi berikut.

1. R tertutup terhadap penjumlahan : x∈R dan y∈R, maka x+y∈R
2. Penjumlahan di R assosiatif : x+(y+z)=(x+y)+z untuk semua x, y, z di R.
3. R memuat identitas penjumlahan 0: x+0=0+x=x, untuk semua x∈R.
4. R memuat balikan penjumlahan: untuk setiap x∈R , terdapat -x∈R,  sedemikian sehingga x+(-x)=(-x)+x=0.
5. Penjumlahan di R komutatif: x+y=y+x, untuk setiap x,y∈R .
6. R tertutup terhadap perkalian: x∈R, dan y∈R, maka x∙y∈R.
7. Perkalian di R assosiatif: x ∙(y∙z)=(x∙y)∙z,  untuk setiap x, y, z∈R.
8. Aturan distributif berlaku di R: x∙(y+z)=x∙y+x∙z dan (x+y)∙z=x∙z+y∙z,  untuk setiap x, y, z∈R.

Notasi xy  digunakan bergantian dengan x∙y menunjukkan perkalian.

Identitas penjumlahan dari gelanggang disimbolkan oleh 0, menunjukkan unsur nol di gelanggang. Invers penjumlahan -a disebut negatif dari a atau balikan dari a. Sedangkan pengurangan di gelanggang didefinisikan oleh

x-y=x+(-y)

Di dalam aljabar elementer kita mengikuti aturan bahwa aturan perkalian lebih didahulukan daripada penjumlahan. Dapat difahami bahwa dalam ekspresi apapun melibatkan perkalian dan penjumlahan. Perkalian dioperasikan terlebih dahulu. Maka, xy+xz merepresentasikan (x∙y)+(x∙z), bukan  x(y+x)z.

Statemen dari definisi dapat dibuat lebih pendek ke dalam bentuk yang lebih mudah untuk diingat jika kita menuliskan kelima syarat pertama sebagai syarat bahwa R adalah suatu grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.